จำนวนฟีโบนัชชี หรือ เลขฟีโบนัชชี (Fibonacci number) คือจำนวนต่าง ๆ ที่อยู่ในลำดับจำนวนเต็มดังต่อไปนี้
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ...
โดยมีนิยามของความสัมพันธ์ว่า จำนวนถัดไปเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้า และสองจำนวนแรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ และลำดับของจำนวนดังกล่าวก็จะเรียกว่า ลำดับฟีโบนัชชี (อังกฤษ: Fibonacci sequence)
หากเขียนให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ลำดับ Fn ของจำนวนฟีโบนัชชีนิยามขึ้นด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้
Fn = Fn-1 + Fn-2} โดยกำหนดค่าเริ่มแรกให้ F0 = 0 และ F1 = 1
ชื่อของจำนวนฟีโบนัชชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีชื่อ เลโอนาร์โดแห่งปีซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนามฟีโบนัชชี (Fibonacci) ผู้ค้นพบจำนวนฟีโบนัชชีในต้นศตวรรษที่ 13
การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี
ลำดับฟิโบนัชชีในธรรมชาติ
สิ่งที่ปรากฏตามธรรมชาติมิได้มีแต่รูปร่างง่ายๆ เท่านั้น บางอย่างมีรูปร่างที่มีแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากขึ้นไปอีก ตัวอย่างที่น่าสนใจของธรรมชาติที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของ คณิตศาสตร์ชั้นสูง ได้แก่ เส้นโค้งก้นหอย ซึ่งมีคุณสมบัติว่า ถ้าลากเส้นตรงจากจุดหลายของเกลียวข้างในสุดไปตัดกับเส้นโค้งแล้ว มุมที่เกิดจากเส้นตรงนั้นกับเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดตัดจะเท่ากันเสมอดังรูป มุม A = มุม B = มุม C เส้นโคังที่มีลักษณะเป็นก้นหอยจะพบได้ในหอยบางชนิด เช่น หอยทาก
นอกจากนี้ยังมีความโค้งของงาช้าง ความโค้งของเกสรดอกทานตะวัน ตาสับปะรดและตาลูกสน ก็มีลักษณะคล้ายส่วนของเส้นโค้งก้นหอยด้วย ยังมีเรื่องที่น่าสนใจในธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อีก จากการศึกษาเส้นโค้งของตาลูกสน ตาสับปะรด และเกสรดอกทานตะวัน จะเห็นว่าเส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิกาของตาลูกสนมีจำนวน 5 เส้น และหมุนทวนเข็มนาฬิกามีจำนวน 3 เส้น หรืออาจกล่าวได้ว่า จำนวนเส้นโค้งสองแบบมีอัตราส่วนเป็น 5 ต่อ 8 สำหรับตาสับปะรด เส้นโค้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา มีอัตราส่วนเป็น 8 ต่อ 13 เส้นโค้งที่เกิดจากเกสรดอกทานตะวันตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกามีอัตราส่วนเป็น 21 ต่อ 34 ปรากฏการณ์นี้เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของเลขฟีโบนัชชี
การนำไปใช้
จำนวนฟีโบนัชชีมีความสำคัญในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของยูคลีเดียนอัลกอริทึมซึ่งใช้ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน โดยยูคลิเดียนอัลกอริทึมจะทำงานได้ช้าที่สุดถ้าข้อมูลเข้าเป็นจำนวนฟีโบนัชชีสองตัวที่ติดกัน
ยูริ มาทิยาเซวิช พิสูจน์ได้ว่าจำนวนฟีโบนัชชีมีนิยามในรูปของผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งความจริงข้อนี้นำไปสู่การแก้ปัญหาข้อที่ 10 ของฮิลแบร์ที่จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนฟีโบนัชชีที่ไม่ติดกินได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ความจริงข้อนี้เป็นที่รู้จักกันในนามทฤษฎีบทของเซคเคนดอร์ฟ การเขียนจำนวนเต็มในรูปดังกล่าวเรียกว่า การนำเสนอแบบเซคเคนดอร์ฟ
จำนวนฟีโบนัชชีถูกใช้กำหนดความยาวของส่วนประกอบต่างๆ ของงานศิลปะ และถูกใช้ในการเทียบเสียงเครื่องดนตรี ผลงานเพลงที่มีความเกี่ยวข้องกับจำนวนฟีโบนัชชี ได้แก่ เพลงสำหรับเครื่องสาย เครื่องประกอบจังหวะ และซีเลสตา ของ เบลา บาท็อก, และเพลงแลเทอราทัส ของวงทูล ซึ่งมีจำนวนพยางค์ในวรรคของเนื้อร้องเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี ("Black/Then/White are/All I see/In my infancy/Red and yellow then came to be")
สี่เหลี่ยมผื้นผ้าทองคำ (Golden Rectangle)
ถ้าทำการวาดรูปสี่เหลี่ยมพื้นผ้า 1 รูปในอัตราสัดส่วนทองคำคือ 1 : 1.6 จากนั้นแบ่งรูปสี่เหลี่ยมพื้นผ้าเป็น 2 รูปโดยรูปที่ 1 เป็นรูปสี่เหลื่ยมจัตตุรัส อีกรูปจะได้รูปสี่เหลี่ยมพื้นผ้า 1 รูป และให้ทำการแบ่งในรูปสี่เหลี่ยมพื้นผ้ารูปที่ 2 ในลักษณะเหมือนขั้นตอนที่ผ่านมาจะพบว่าจะสามารถแบ่งพื้่นที่สี่เหลี่ยมพื้นผ้า 1:1.6 นี้ได้จนไม่มีจุดสิ้นสุด ดังรูป
เกลียวก้นหอยฟิโบนัชชี (Fibonacci Spiral)
ถ้าทำการลากเส้นโค้งผ่านจุดแบ่งสี่เหลี่ยมพื้นผ้าทองคำ จะได้เกลียวฟีโบนักชี่ไม่จุดที่สิ้นสุดอีกเช่นกัน ซึ่งการลากเส้นโค้งนี้จะมีลักษณะคล้ายรูปก้นหอยลายนิ้วมือของมนุษย์ และสัตว์บางชนิดเช่นเปลือกหอยนอติลุส
อัตราส่วนทองคำ Phi(ฟี) 1.6 อัตราส่วนทองคำ
ตัวเลข “ฟีโบนันชี”มีความเชื่อมโยงกับอัตราส่วนทองคำ ถ้าเราจำนวนตัวเลขอนุกรมฟีโบนันชี่นับตั้งแต่ลำดับที่ 6 คือลำดับต่ำแหน่งตั้งแต่หมายเลข 5 จากนั้นนำมาหารกันถัดมาด้านหน้าหนึ่งตำแหน่ง จะพบได้ว่าการหารจะได้ค่าตัวเลขหลังจากตัดตัวเลขทศนิยมเหลือหนึ่งต่ำแหน่งจะได้ค่าตัวเลข 1.6 เช่น [13/8] =1.625 หรือ [89/55]=1.6182 ซึ่งตัวเลขค่าที่แท้จริงของ Phi (ฟี) เท่ากับ (1+5)/2) จะได้ค่าตัวเลข 1.61803398874989……
Phi (ฟี) อัตราส่วนทองคำนั้นเป็นรากฐานสิ่งกำเนิดสรรพสิ่งในจักรวาลที่นำมาเชื่อมโยงกับ มนุษย์ สัตว์ พืช โครงสร้างระดับอะตอม งานปฏิมากรรมสำคัญของโลก และยังเกี่ยวข้องกับความงดงามและสุนทรียศาสตร์ “พีทาโกรัส” นักปราชญ์ยุคกรีกได้สันนิษฐานถึงความถึงความสัมพันธุ์ระหว่างคณิตศาสตร์และความสวยงาม พีทาโกรัสสังเกตว่าสิ่งต่างๆ ที่มีสัดส่วนตามสัดส่วนทองคำ มักจะถูกมองว่ามีความสวยงามไม่ว่าจะเป็นมนุษย์ที่มีหน้าตาร่างกาย แม้แต่ภาพวาด “โมนาลิซ่า” ภาพวาดของ ลีโอนาโด ดาวินชี ภาพก็ถูกวาดได้ตามอัตราส่วนทองคำ และถูกยกย่องให้เป็นภาพวาดผู้หญิงที่สวยที่สุดในโลก
สมการนี้จะเป็นจริงเสมอ
