thitipong library: ตุลาคม 2014

วันพฤหัสบดีที่ 16 ตุลาคม พ.ศ. 2557

รังสีเอกซ์

รังสีเอกซ์ (X-ray หรือ Röntgen ray) เป็นรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า ที่มีความยาวคลื่นในช่วง 10 ถึง 0.01 นาโนเมตร ตรงกับความถี่ในช่วง 30 ถึง 30,000 พีต้าเฮิตซ์ (10¹⁵ เฮิตซ์) ในเบื้องต้นมีการใช้ช้รังสีเอกซ์สำหรับถ่ายภาพเพื่อการวินิจฉัยโรค และงานผลึกศาสตร์(crystallography) รังสีเอกซ์เป็นการแผ่รังสีแบบแตกตัวเป็นไอออน และมีอันตรายต่อมนุษย์ รังสีเอกซ์ค้นพบโดยวิลเฮล์ม คอนราด เรินต์เกนเมื่อ ค.ศ. 1895

ทฤษฎีอิเล็กตรอนสมัยปัจจุบัน อธิบายถึงการเกิดรังสีเอกซ์ว่า ธาตุประกอบด้วยอะตอมจำนวนมากในอะตอมแต่ละตัวมีนิวเคลียสเป็นใจกลาง และมีอิเล็กตรอนวิ่งวนเป็นชั้นๆ ธาตุเบาจะมีอิเล็กตรอนวิ่งวนอยู่น้อยชั้น และธาตุหนักจะมีอิเล็กตรอนวิ่งวนอยู่หลายชั้น เมื่ออะตอมธาตุหนักถูกยิงด้วยกระแสอิเล็กตรอน จะทำให้อิเล็กตรอนที่อยู่ชั้นในถูกชนกระเด็นออกมาวิ่งวนอยู่รอบนอกซึ่งมีภาวะไม่เสถียรและจะหลุดตกไปวิ่งวนอยู่ชั้นในอีก พร้อมกับปล่อยพลังงานออกในรูปรังสี ถ้าอิเล็กตรอนที่ยิงเข้าไปมีพลังงานมาก ก็จะเข้าไปชนอิเล็กตรอนในชั้นลึกๆ ทำให้ได้รังสีที่มีพลังงานมาก เรียกว่า ฮาร์ดเอกซเรย์ (hard x-ray) ถ้าอิเล็กตรอนที่ใช้ยิงมีพลังงานน้อยเข้าไปได้ไม่ลึกนัก จะให้รังสีที่เรียกว่า ซอฟต์เอกซเรย์ (soft x-ray)

กระบวนการเกิดหรือการผลิตรังสีเอกซ์ทั้งโดยฝีมือมนุษย์และในธรรมชาติ มีอยู่ 2 วิธีใหญ่ๆ คือ วิธีที่ 1 เป็นวิธีผลิตรังสีเอกซ์โดยการยิงลำอนุภาคอิเล็กตรอนใส่แผ่นโลหะ เช่น ทังสเตน อิเล็กตรอน ที่เป็นกระสุนจะวิงไปชนอิเล็กตรอนของอะตอมโลหะที่เป็นเป้า ทำให้อิเล็กตรอนที่ถูกชนเปลี่ยนตำแหน่ง การโคจรรอบนิวเคลียส เกิดตำแหน่งที่ว่างของอิเล็กตรอนในวงโคจรรอบนิวเคลียสเดิม อิเล็กตรอนตัวอื่นที่ อยู่ในตำแหน่งวงโคจรมีพลังงานสูงกว่า จะกระโดดเข้าไปแทนที่ของอิเล็กตรอนเดิมแล้วปล่อยพลังงานออก มาในรูปของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าคือ รังสีเอกซ์ เครื่องฉายรังสีเอกซ์ที่ใช้งานกันทั่วไปในโรงพยาบาลและในโรงงานอุตสาหกรรม ล้วนเป็นเครื่องผลิต รังสีเอกซ์จากวิธีการนี้ วิธีที่ 2 เป็นวิธีผลิต หรือ กำเนิดรังสีเอกซ์จากการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่มีประจุไฟฟ้า เช่น อิเล็กตรอน โปรตอนหรืออะตอม อย่างมีความเร่ง คือ อนุภาคที่มีประจุไฟฟ้าเหล่านี้เคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูงขึ้นแล้วก็เป็น ธรรมชาติของอนุภาคที่มีประจุไฟฟ้าเหล่านี้เอง ที่ต้องปล่อยพลังงานออกมาในรูปของ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า อย่างที่ไม่มีอะไรไปห้ามได้ ซึ่งถ้าคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่ถูกปล่อยออกมามีความถี่สูงพอก็จะเป็นรังสีเอกซ์ กำเนิดรังสีเอกซ์วิธีนี้เป็นวิธีที่นักวิทยาศาสตร์ที่นิยมใช้ในการผลิตรังสีเอกซ์ในห้องทดลองวิทยาศาสตร์

ประวัติศาสตร์ในการศึกษารังสีเอกซ์[แก้]

Johann Hittorf (1824 - 1914) นักฟิสิกส์ที่ทำการศึกษารังสีพลังงานสูงที่ปลดปล่อยออกมาจากขั้วลบในท่อเอกซเรย์ รังสีนี้มีความเรืองแสงเมื่อกระทบหลอดแก้วของท่อเอกซเรย์ ในปี 1876 Eugen Goldstein ได้เรียกปรากฏการณ์นี้ว่า รังสีแคโทด ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในปัจจุบันว่าคือ กระแสอิเล็กตรอน ต่อมา นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ William Crookes ได้ทำการศึกษาผลของกระแสอิเล็กตรอนในความดันที่ต่ำ และก็ได้เรียกสิ่งที่เขาค้นพบว่า Crookes tube ซึ่งเป็นท่อแก้วสุญญากาศ มีขั้วอิเล็กโทรดแรงเคลื่อนไฟฟ้าสูง โดยเขาได้ทดลองนำแผ่นถ่ายภาพไว้ข้างท่อแก้ว พบว่าเกิดรอยดำบนแผ่น แต่ Crookes ยังไม่ได้อธิบายปรากฏการณ์นี้

ในเดือนเมษายนปี 1887 Nikola Tesla ได้เริ่มทำการศึกษารังสีเอกซ์โดยใช้ท่อสุญญากาศแรงเคลื่อนไฟฟ้าสูงที่เขาคิดค้นขึ้นเอง (เช่นเดียวกับ Crookes tube) จากวารสารตีพิมพ์ต่าง ๆ ได้บ่งชี้ว่า เขาได้เป็นผู้พัฒนาท่อเอกซเรย์ขึ้น ซึ่งแตกต่างจากท่อเอกซเรย์อื่น ๆ ที่มีขั้วอิเล็กโทรดเพียงด้านเดียว

โดยหลักการของ Tesla ที่ได้พัฒนาท่อเอกซเรย์ขึ้นมา ในปัจจุบันเรียกว่ากระบวนการ Bremsstrahlung ซึ่งเป็นกระบวนการที่รังสีเอกซเรย์ที่ถูกปลดปล่อยออกมานั้นเกิดจากการเร่งประจุเช่นอิเล็กตรอนในวิ่งผ่านสสารบางชนิด ในปี 1892 Tesla ได้ทำเสนอผลการทดลองซึ่งเขายังเรียกเพียงว่าเป็นพลังงานจากการแผ่รังสี ในตอนนั้นเขายังไม่ได้เสนอผลการทดลองให้เป็นที่กว้างขวางมากนัก แต่ผลจากการทดลองของเขาส่งผลต่อวงการวิทยาศาสตร์และทางการแพทย์ในปัจจุบันอย่างมาก

ในปี 1892 Heinrich Hertz ได้ทำการทดลองกับรังสีแคโทดรวมกับแผ่นโลหะบาง (เช่น อะลูมิเนียม) ต่อมา Philipp Lenard นักศึกษาของ Hertz ได้ทำการวิจัยปรากฏการณ์นี เขาได้พัฒนาท่อแคโทดขึ้นใหม่และใช้วัสดุหลายชนิดในการเป็นตัวกลาง เขาไม่ได้ตระหนักเลยว่า นั่นคือการสร้างรังสีเอกซ์ ต่อมา Hermann von Helmholtz ได้ทำการศึกษาสมการทางคณิตศาสตร์ของรังสีเอกซ์ เขาได้ตั้งสมมุติฐานก่อนที่ R?ntgen จะค้นพบและพิสูจน์ได้ ซึ่งต่อมาเป็นรากฐานของทฤษฎีทางคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า

ในวันที่ 8 พฤศจิกายน 1896 Wilhelm Conrad R?ntgen นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน ได้เริ่มทำการศึกษาและวิจัยรังสีเอกซ์ขณะทำการทดลองกับท่อสุญญากาศ แล้วในวันที่ 28 ธันวาคม 1895 เขาได้เขียนรายงานเรื่อง On a new kind of ray: A preliminary communication ซึ่งรายงานเล่มนี้ได้พูดถึง รังสี x ซึ่งได้ระบุไว้ว่าเป็นรังสีที่ยังระบุประเภทไม่ได้ (จึงตั้งชื่อไว้ก่อนว่า รังสี x) ส่งผลให้ชื่อรังสีเอกซ์ถูกใช้กันมานิยมมากกว่าชื่อที่นักวิทยาศาสตร์ตั้งให้ว่า รังสีเรินต์เก้น (R?ntgen rays) และทำให้ R?ntgen ได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์จากการค้นพบและพิสูจน์ปรากฏการณ์นี้

ในการทดลองของ R?ntgen ได้เริ่มจากการใช้เครื่องสร้างรังสีแคโทดผ่านท่อแก้วสุญญากาศ เขาได้พบว่ามีแสงสีเขียวอ่อนวิ่งปะทะกับผนังท่อ เขาได้พบว่า แสงจากเครื่องสร้างรังสีแคโทดนี้ได้ทะลุผ่านวัสดุต่าง ๆ (เช่น กระดาษ ไม้ หนังสือ) เขาได้เริ่มวางวัตถุอื่น ๆ หลายประเภทไว้หน้าเครื่องนี้ และทำให้เขาได้พบว่า เขาสามารถถ่ายเห็นโครงร่างของกระดูกมือของเขาได้บนผนัง สองเดือนต่อมาเขาเริ่มทำการค้นคว้า และได้ทำการพิสูจน์และตีพิมพ์ในปี 1896 ในรายงานชื่อ On a New Kind of Radiation

ย้อนกลับไปในปี 1985 Thomas Edison ก็ได้ทำการศึกษาผลของวัสดุหลายประเภทที่เรืองแสงได้ด้วยรังสีเอกซ์ และได้พบ calcium tungstate ซึ่งเป็นวัสดุที่ดีที่สุด ในเดือนมีนาคม ปี 1896 ได้ริเริ่มพัฒนากล้องตรวจอวัยวะภายในด้วยเงารังสีเอกซ์บนจอเรืองแสง (fluoroscope) ซึ่งมีใช้กันแพร่หลายในปัจจุบัน แม้ว่า Edison จะหยุดการวิจัยเกี่ยวกับรังสีเอกซ์ในปี 1903 หลังจากการจากไปของ Clarence Madison Dally ซึ่งเป็นช่างเป่าแก้วของเขา Dally ในตอนนั้นมีนิสัยชอบทดสอบท่อรังสีเอกซ์ด้วยมือเปล่า เขาได้เริ่มเป็นมะเร็งและจำเป็นต้องตัดมือทั้งสองข้างก่อนที่จะเสียชีวิต

ในปี 1906 Charles Barkla ได้ค้นพบว่า รังสีเอกซ์สามารถถูกกระเจิงได้ด้วยก๊าซ และได้บอกว่าวัตถุใดที่มีคุณสมบัติเช่นนี้จะมีลักษณะเช่นเดียวกับรังสีเอกซ์ (characteristic x-ray) เขาได้รับรางวัล Nobel prize ในปี 1917 จากการค้นพบสิ่งนี้

ในปี 1912 Max von Laue, Paul Knipping and Walter Friedrich ได้ทำการค้นคว้าการเบี่ยงเบนของรังสีเอกซ์ด้วยคริสตัล การทดลองนี้ เป็นจุดเริ่มต้นของสาขา X-ray crystallography ที่มีนักฟิสิกส์ Paul Peter Ewald, William Henry Bragg and William Lawrence Bragg ได้วางรากฐานและพัฒนาต่อม

ในการประยุกต์ใช้รังสีเอกซ์ทางการแพทย์นั้น (radiation therapy) ได้เริ่มต้นโดย Major John Hall-Edwards นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ ในปี 1908 เขาจำเป็นต้องเสียแขนซ้ายด้วยผลของการแผ่รังสีเอกซ์ และในปี 1950 ได้กล้องถ่ายภาพเอกซเรย์ (x-ray microscope) ได้พัฒนาขึ้นสำเร็จ

ในปี 1980 เลเซอร์รังสีเอกซ์ (x-ray laser) ถูกนำมาใช้ในส่วนหนึ่งของแผนการป้องกันของรีแกน (Reagan administration's Strategic Defense Initiative) แต่ก็ไม่ได้ผลดีนัก

ในปี 1990 ห้องแลบเอกซเรย์จันทรา (Chandra X-ray Observatory) ได้เริ่มใช้งาน และได้เริ่มการสร้างรังสีเอกซ์อย่างต่อเนื่องเกิดขึ้น นำไปสู่การค้นคว้าวิจัยทางดาราศาสตร์ซึ่งเปรียบเทียบกับปรากฏการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้น เช่น blackhole การปะทะของกาแลกซี่ nova รวมถึงดาวนิวตรอนหรือการระเบิดต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในเอกภพ

การประยุกต์ใช้ทางการแพทย์[แก้]

ตั้งแต่การค้นพบของ Roentgen ว่ารังสีเอกซ์สามารถบอกรูปร่างของกระดูกได้ รังสีเอกซ์ได้ถูกพัฒนาเพื่อนำมาใช้ในการถ่ายภาพในการแพทย์ นำไปสู่สาขาที่เรียกว่า รังสีวิทยา โดยนักรังสีวิทยาได้ใช้ ภาพถ่าย (radiography) ที่ได้มาใช้ในการช่วยการวินิจฉัยโรคนั่นเอง

รังสีเอกซ์มักถูกนำมาใช้ในการตรวจหาสภาพทางพยาธิวิทยาของกระดูก แต่ก็สามารถหาความผิดปกติของบางโรคที่เป็นที่เนื้อเยื่อทั่วไปได้ ตัวอย่างที่พบเห็นได้ทั่วไปเช่นการเอกซเรย์ปอด ซึ่งสามารถบอกถึงความผิดปกติได้หลายโรค เช่น โรคปอดบวม (pneumonia) โรคมะเร็งปอด (lung cancer) หรือน้ำท่วมปอด (pulmonary edema) รวมถึงการเอกซเรย์ช่องท้อง เช่นการตรวจภาวะอุดตันในลำไส้เล็ก (ileus) ภาวะลมหรือของเหลวคั่งในช่องท้อง ในบางครั้งยังใช้ในการตรวจหานิ่วในถุงน้ำดี หรือนิ่วในกระเพาะปัสสาวะได้ รวมทั้งในบางกรณีสามารถใช้ในการถ่ายภาพเนื้อเยื่อบางชนิด เช่น สมองและกล้ามเนื้อได้ แต่นับแต่ในปี 2005 รังสีเอกซ์ถูกขึ้นบัญชีในรัฐบาลสหรัฐอเมริกาว่า เป็นสารก่อมะเร็ง การถ่ายภาพเนื้อเยื่อส่วนใหญ่จึงถูกพัฒนาโดยใช้เทคนิด CAT หรือ CT scanning (computed axial tomography) หรือใช้เทคนิค MRI (magnetic resonance imaging) หรือ ultrasound ทดแทน

ปัจจุบัน การรักษาโรคมะเร็งส่วนใหญ่ได้มีการนำรังสีมาช่วยในการรักษาโรค (radiotherapy) และได้มีการรักษาพยาธิสภาพต่าง ๆ เช่น การรักษาแบบ real-time ในการผ่าตัดถุงน้ำดี การขยายหลอดเลือด (angioplasty) หรือการกลืนสาร barium enema เพื่อตรวจสภาพลำไส้เล็กและลำไส้ใหญ่ โดยการใช้ fluoroscopy

การประยุกต์ใช้ในด้านอื่น[แก้]

รังสีเอกซ์ได้ถูกพัฒนานำไปใช้ในหลายสาขา เช่น การวิเคราะห์ลักษณะของอะตอมและการผลิตโดยอาศัยการเบี่ยงเบนของรังสีเอกซ์ (x-ray crystallography) การวิจัยทางดาราศาสตร์ที่อาศัยการปลดปล่อยรังสีเอกซ์ที่มาจากวัตถุในวัตถุ (x-ray astronomy) การถ่ายภาพและผลิตภาพในขนาดเล็ก (x-ray microscopic analysis) รวมทั้งการตรวจหารอยร้าวขนาดเล็กในโลหะ การติดตามผลของตัวอย่างในการวิจัยโดยอาศัยคุณสมบัติของรังสีเอกซ์ (x-ray fluorescence) รวมถึงใช้ตรวจหาอาวุธปืนหรือระเบิดในกระเป๋าเดินทาง

รังสีเเกมมา

รังสีแกมมา (อังกฤษ: gamma ray) คือคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าชนิดหนึ่ง ที่มีช่วงความยาวคลื่นสั้นกว่ารังสีเอกซ์ (X-ray) ที่มีความยาวคลื่นอยู่ในช่วง 10^-13 ถึง 10^-17 หรือก็คือคลื่นที่มีความยาวคลื่นน้อยกว่า 10^-13 นั่นเอง การที่ความยาวคลื่นสั้นนั้น ย่อมหมายถึงความถี่ที่สูง และพลังงานที่สูงตามไปด้วย ดังนั้นรังสีแกมมาถือเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีพลังงานสูงที่สุดในบรรดาคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าชนิดต่าง ๆ ที่เหลือทั้งหมด

การค้นพบ[แก้]

การค้นพบรังสีแกมมา โดย พอล วิลลาร์ด (Paul Villard) นักฟิสิกส์ฝรั่งเศส พอล วิลลาร์ด ค้นพบรังสีแกมมาจากการศึกษากัมมันตภาพรังสีที่ออกมาจากยูเรเนียม ซึ่งถูกค้นพบมาก่อนแล้วว่าบางส่วนจะเบนไปทางหนึ่ง เมื่อผ่านสนามแม่เหล็กบางส่วนจะเบนไปอีกทางหนึ่ง กัมมันตภาพรังสีทั้งสองประเภทนี้ คือ รังสีแอลฟา และรังสีบีตา

รังสีแกมมากับปฏิกิริยานิวเคลียร์[แก้]

ปฏิกิริยานิวเคลียร์ คือปฏิกิริยาที่เกิดความเปลี่ยนแปลงกับนิวเคลียสของอะตอม ไม่ว่าจะเป็นการเพิ่มหรือการลด โปรตอนหรือนิวตรอนในนิวเคลียสของอะตอม เช่นปฏิกิริยานี้

{}^{23}_{11} Na + {}^1_0 n \rarr {}^{24}_{11} Na + \gamma

จะเห็นได้ว่าโซเดียม ได้มีการรับนิวตรอนเข้าไป เมื่อนิวเคลียสเกิดความไม่เสถียร จึงเกิดการคายพลังงานออกมา และพลังงานที่คายออกมานั้น เมื่ออยู่ในรูปคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแล้ว มันก็คือรังสีแกมมานั่นเอง

โดยทั่วไป รังสีแกมมาที่แผ่ออกมาจากนิวเคลียสของอะตอมที่ไม่เสถียรนั้น มักจะมีค่าพลังงานที่แตกต่างกันไปตามแต่ละชนิดของไอโซโทป ซึ่งถือเป็นคุณลักษณะประจำไอโซโทปนั้น ๆ

การประยุกต์ใช้งาน[แก้]

ในปัจจุบันถึงแม้ว่ารังสีแกมมาจะไม่เป็นที่รู้จักและใช้งานอย่างแพร่หลายทั่วไปในปัจจุบัน เหมือนอย่างคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าชนิดอื่น ๆ ที่คนทั่วไปมักรู้จักกันดี เช่น คลื่นวิทยุ คลื่นไมโครเวฟ หรือแม้แต่รังสีเอกซ์ ที่มีความคล้ายคลึงกับรังสีแกมมาที่สุดแล้ว เนื่องจากการใช้ประโยชน์ของรังสีแกมมา ไม่ค่อยได้เข้ามามีบทบาทในชีวิตประจำวันของผู้คนเท่าไร ส่วนใหญ่มักจะใช้ในงานวิจัยและอุตสาหกรรมอื่น ๆ ที่ไม่ค่อยเป็นที่รู้จักอย่างแพร่หลาย แต่คุณสมบัติพิเศษของมันในเรื่องของพลังงานที่สูงกว่าคลื่นชนิดอื่น ๆ จึงทำให้สามารถใช้ประโยชน์ได้ในงานต่าง ๆ ดังต่อไปนี้

เทคโนโลยีพันธุกรรม (Genetic Technology)[แก้]

รังสีแกมมาใช้ในการเหนี่ยวนำให้เกิดการกลายพันธุ์ในสิ่งมีชีวิต เพราะมันมีพลังงานสูง ก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงกับดีเอ็นเอ โดยปกติสารพันธุกรรมของสิ่งมีชีวิตมีหน้าที่ควบคุมลักษณะต่าง ๆ ของสิ่งมีชีวิต เมื่อเซลล์ที่มีการเปลี่ยนแปลงสารพันธุกรรมจะทำให้เกิดหน่วยพันธุกรรมที่เปลี่ยนแปลงไป เช่น สีของดอก รูปลักษณะของลำต้น ใบ เป็นต้น

กล้องโทรทัศน์รังสีแกมมา[แก้]

เหตุการณ์บางอย่างที่เกิดขึ้นบนเอกภพเช่นการชนกันของดวงดาวหรือหลุมดำ การระเบิดจะก่อให้เกิดรังสีแกมมาที่มีพลังงานสูงมากเดินทางข้ามอวกาศมายังโลกของเรา เนื่องจากชั้นบรรยากาศจะกรองเอารังสีแกมมาจากอวกาศออกไปจนหมดสิ้น รังสีแกมมาเหล่านั้นจึงไม่สามารถทำอันตรายต่อสิ่งมีชีวิตบนโลกนี้ได้ แต่ก็ทำให้การศึกษารังสีแกมมาที่เกิดจากเหตุการณ์บนอวกาศไม่สามารถทำได้เช่นกัน จึงมีความจำเป็นที่จะต้องศึกษารังสีแกมมาที่มาจากอวกาศเหนือชั้นบรรยากาศเท่านั้น ดังนั้นกล้องโทรทัศน์รังสีแกมมาจำเป็นที่จะต้องติดตั้งอยู่บนดาวเทียมเท่านั้น

การถนอมอาหาร[แก้]

เทคโนโลยีการถนอมอาหารนั้นมีหลากหลายวิธี โดยสาระสำคัญทั้งหมดอยู่ที่การพยายามฆ่าเชื้อโรคไปจากอาหารและ/หรือป้องกันไม่ให้เชื้อโรคเจริญเติบโตอยู่ได้ โดยทั่วไปแล้วการใช้ความร้อนเป็นวิธีที่ธรรมดาสามัญและนับได้ว่าเป็นวิธีที่ค่อนข้างได้ผลมาก หากเพียงแต่การใช้ความร้อน เป็นการบีบบังคับว่าอาหารนั้นจำเป็นที่จะต้องสุกจึงจะถนอมไว้ได้ เพื่อตัดปัญหานี้ การใช้ฉายรังสีจึงเป็นทางเลือกที่ดีกว่า

เนื่องจากการฉายรังสีที่มีพลังงานสูง เช่นรังสีแกมมานี้ จะไปทำลายเซลล์สิ่งมีชีวิต ร่วมไปถึงสารพันธุกรรมต่าง ๆ ทำให้เซลล์สิ่งมีชีวิตต่าง ๆ ตาย โดยที่ไม่กระทบกระเทือนกับอาหาร ถึงแม้ว่าการดูดซึมรังสีของอาหารจะทำให้เกิดความร้อนขึ้นมาเล็กน้อย แต่สิ่งนั้นก็ก่อให้เกิดความผิดเพี้ยนของรสชาติอาหารไปเพียงเล็กน้อยเท่านั้น

อย่างไรก็ตามถึงแม้ว่าการฉายรังสีดูเหมือนจะเป็นหนทางที่ดีในการถนอมอาหาร แต่กลุ่มผู้บริโภคบางส่วนก็มีแนวคิดที่ว่าการฉายรังสีอาจทำให้เกิดปฏิกิริยาบางอย่างกับอาหารแล้วทำให้เกิดสารที่เป็นพิษต่อร่างกายได้ จึงทำให้การใช้เทคโนโลยีการฉายรังสีไม่เป็นที่แพร่หลายเท่าใดนัก

พหุนาม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในคณิตศาสตร์ พหุนาม คือนิพจน์ที่สร้างจากตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวและค่าคงที่ โดยใช้การดำเนินการแค่ การบวก การลบ และการคูณ

ตัวอย่างเช่น นิพจน์

y (2 x z^3 - 4) x - 2 + (0.9 x + z) y

เป็นพหุนาม (เนื่องจาก

z^3

เป็นการเขียนย่อจาก

z\cdot z\cdot z

) แต่นิพจน์

{1 \over x^2 + 1}

ไม่ใช่พหุนาม เนื่องจากมีการหาร เช่นเดียวกับ นิพจน์

( 5 + y ) ^ x

เนื่องจากไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการคูณกันที่ไม่ขึ้นกับค่าของตัวแปร

x

ได้

นอกจากนี้ ยังมีการนิยาม พหุนาม ในรูปแบบจำกัด กล่าวคือ พหุนามคือนิพจน์ที่เป็นผลรวมของผลคูณระหว่างตัวแปรกับค่าคงที่ ยกตัวอย่างเช่น

2 x^2 y z^3 - 3.1 x y + y z - 2

อย่างไรก็ตาม ข้อจำกัดนี้เป็นเพียงข้อจำกัดที่ผิวเผิน เนื่องจากสามารถใช้กฎการแจกแจงแปลงพหุนามภายใต้นิยามแรกให้เป็นพหุนามภายใต้นิยามที่สองได้ ในการใช้งานทั่วไปมักไม่แยกแยะความแตกต่างทั้งสอง นอกจากนี้ในบริบททั่วไปมักนิยมถือว่าโดยทั่วไปพหุนามจะอยู่ในรูปแบบจำกัดนี้ แต่เมื่อต้องการแสดงว่าอะไรเป็นพหุนาม มักใช้รูปแบบแรกเนื่องจากสะดวกมากกว่า

ฟังก์ชันพหุนาม คือฟังก์ชันที่นิยามด้วยพหุนาม ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f นิยามด้วย f(x) = x³−x เป็นฟังก์ชันพหุนาม ฟังก์ชันพหุนามเป็นฟังก์ชัน เรียบประเภทหนึ่งที่สำคัญ นั่นคือ สินชัยเป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ทุก ๆ อันดับที่จำกัด

เเคลคูลัส

แคลคูลัส เป็นสาขาหลักของคณิตศาสตร์ซึ่งพัฒนามาจากพีชคณิต เรขาคณิต และปัญหาทางฟิสิกส์ แคลคูลัสมีต้นกำเนิดจากสองแนวคิดหลัก ดังนี้

แนวคิดแรกคือ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus) เป็นทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น การหา ความเร็ว, ความเร่ง หรือความชันของเส้นโค้ง บนจุดที่กำหนดให้. ทฤษฎีของอนุพันธ์หลายส่วนได้แรงบันดาลใจจากปัญหาทางฟิสิกส์

แนวคิดที่สองคือ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus) เป็นทฤษฎีที่ได้แรงบันดาลใจจากการคำนวณหาพื้นที่หรือปริมาตรของรูปทรงทางเรขาคณิตต่าง ๆ. ทฤษฎีนี้ใช้กราฟของฟังก์ชันแทนรูปทรงทางเรขาคณิต และใช้ทฤษฎีปริพันธ์ (หรืออินทิเกรต) เป็นหลักในการคำนวณหาพื้นที่และปริมาตร

ทั้งสองแนวคิดที่กำเนิดจากปัญหาที่ต่างกันกลับมีความสัมพันธ์กันลึกซึ้ง โดยทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่า แท้จริงแล้วทฤษฎีทั้งสองเปรียบเสมือนเป็นด้านทั้งสองของเหรียญอันเดียวกัน นั่นคือเป็นสิ่งเดียวกันเพียงแต่มองคนละมุมเท่านั้น (โดยคร่าว ๆ เรากล่าวได้ว่าอนุพันธ์และปริพันธ์เป็นฟังก์ชันผกผันของกันและกัน). ในการสอนแคลคูลัสเพื่อความเข้าใจตัวทฤษฎีอย่างลึกซึ้ง ควรกล่าวถึงทั้งสองทฤษฎีและความสัมพันธ์นี้ก่อน แต่การศึกษาในปัจจุบันมักจะกล่าวถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก่อนเพียงอย่างเดียว เนื่องจากนำไปใช้งานได้ง่ายกว่า

อนึ่ง การศึกษาแคลคูลัสอย่างละเอียดในเวลาต่อมา ได้ทำให้เกิดศาสตร์ใหม่ ๆ ทางคณิตศาสตร์มากมาย เช่น คณิตวิเคราะห์ และ ทฤษฎีการวัด เป็นต้น

ประวัติของแคลคูลัส[แก้]

ต้นกำเนิดของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ย้อนไปถึงยุคกรีกโบราณ ยูโดซัส มักจะเป็นที่รู้จักกันในนามของผู้ที่ค้นพบ วิธีการแจงกรณี ซึ่งทำให้สามารถคำนวณหาพื้นที่และปริมาตรได้ อาร์คิมิดีส ได้พัฒนาวิธีการนี้ต่อ และได้พัฒนาวิธีการช่วยคำนวณ ซึ่งคล้ายคลึงกับแนวคิดในปัจจุบันด้วย ไลบ์นิซ และ นิวตัน มักจะได้รับการยอมรับว่าเป็นผู้ที่คิดค้นแคลคูลัสขึ้นมา โดยเฉพาะการค้นพบทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

เซอร์ไอแซก นิวตัน

กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ

มีการโต้เถียงกันว่านิวตันหรือไลบ์นิซ ที่เป็นผู้ที่ค้นพบแนวคิดหลักของแคลคูลัสก่อน ความจริงนั้นไม่มีใครรู้ได้ สิ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ที่ไลบ์นิซได้พัฒนาให้กับแคลคูลัส คือ เครื่องหมายของเขา เขามักจะใช้เวลาเป็นวัน ๆ นั่งคิดถึงสัญลักษณ์ที่เหมาะสม ที่จะแทนที่แนวคิดทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การโต้เถียงกันระหว่างไลบ์นิซ และนิวตัน ได้แบ่งแยกนักคณิตศาสตร์ที่พูดภาษาอังกฤษ ออกจากนักคณิตศาสตร์ในยุโรป เป็นเวลานานหลายปี ซึ่งทำให้คณิตศาสตร์ในอังกฤษล้าหลังกว่ายุโรปเป็นเวลานาน เครื่องหมายที่นิวตันใช้นั้น คล่องตัวน้อยกว่าของไลบ์นิซอย่างเห็นได้ชัด แต่ก็ยังใช้กันในอังกฤษจน Analytical Society ได้ใช้เครื่องหมายของไลบ์นิซในศตวรรษที่ 19 ตอนต้น สันนิษฐานกันว่า นิวตันค้นพบแนวคิดเกี่ยวกับแคลคูลัสก่อน แต่อย่างไรก็ตาม ไลบ์นิซเป็นผู้ที่เผยแพร่ก่อน ทุกวันนี้เป็นที่เชื่อกันว่า ทั้งนิวตันและไลบ์นิซต่างก็ค้นพบแคลคูลัสด้วยตนเอง

ผู้ที่ได้ชื่อว่าเป็นผู้พัฒนาวิชาแคลคูลัสนอกจากนี้คือ เดส์การตส์, Barrow, เดอ แฟร์มาต์, ฮอยเก้นส์ และ วอลลิส โดยเฉพาะ เดอ แฟร์มาต์ ซึ่งบางครั้งได้รับการยกย่องว่าเป็น บิดาแห่งแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์. นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น โควะ เซกิซึ่งมีชีวิตอยู่ในช่วงเวลาเดียวกันกับ ไลบ์นิซ และนิวตัน ได้ค้นพบหลักการพื้นฐานบางอย่างเกี่ยวกับ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ แต่เขาไม่เป็นที่รู้จักในโลกตะวันตกในขณะนั้น และเขาก็ไม่ได้ติดต่อกับนักวิชาการชาวตะวันตกเลย

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์[แก้]

อนุพันธ์ (derivative) คือการหาค่าความเปลี่ยนแปลงของตัวแปรหนึ่ง เมื่ออีกตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนแปลงในปริมาณที่น้อยมากๆ บางทีอนุพันธ์ที่เราจะได้พบครั้งแรกในโรงเรียนคือ สูตรอัตราเร็ว = ระยะทาง/เวลา สำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ อัตราเร็วของคุณซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่บอกการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งในระยะเวลาหนึ่ง วิชาแคลคูลัสพัฒนาขึ้น เพื่อจัดการกับปัญหาที่ซับซ้อนและเป็นธรรมชาติกว่านี้ ซึ่งอัตราเร็วของคุณอาจเปลี่ยนแปลงได้

เมื่อเรากล่าวถึงรายละเอียดแล้ว แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิยามอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง (อนุพันธ์) ระหว่างค่าของฟังก์ชัน กับตัวแปรของฟังก์ชัน นิยามจริงๆ ของอนุพันธ์คือ ลิมิตของอัตราส่วนในการเปลี่ยนแปลง (difference quotient). อนุพันธ์คือหัวใจของวิทยาศาสตร์กายภาพ กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน แรง = มวล×ความเร่ง มีความหมายในแคลคูลัส เพราะว่า ความเร่งเป็นอนุพันธ์ค่าหนึ่ง ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวล และทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ (สัมพัทธภาพทั่วไป) นั่นได้กล่าวถึงด้วยภาษาของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ เช่นเดียวกันกับทฤษฎีพื้นฐานของวงจรไฟฟ้า

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน กล่าวถึงกราฟของฟังก์ชันนั้นในช่วงสั้น ๆ ซึ่งทำให้เราสามารถหาจุดสูงสุด และจุดต่ำสุด ของฟังก์ชันได้ เพราะว่าที่จุดเหล่านั้นกราฟจะขนานกับแกนราบ ดิเฟอเรนเชียล แคลคูลัสยังมีการประยุกต์ใช้อื่นๆอีก เช่น ระเบียบวิธีของนิวตัน (Newton's Method) ซึ่งเป็นวิธีในการหาค่ารากของฟังก์ชัน โดยการประมาณค่าโดยเส้นสัมผัส ดังนั้นแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ จึงสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับหลากหลายคำถาม ซึ่งถ้ามองแค่ผิวเผินอาจคิดว่า ไม่อาจใช้แคลคูลัสจัดการได้

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์[แก้]

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ศึกษาวิธีการหาปริพันธ์ (อินทิกรัล, Integral) ของฟังก์ชัน ซึ่งอาจนิยามจากลิมิตของผลรวมของพจน์ (ซึ่งเรียกว่าลิมิตของผลรวมรีมันน์) แต่ละพจน์นั้นคือพื้นที่ที่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละแถบใต้กราฟของฟังก์ชัน ทำให้การอินทิเกรตเป็นวิธีที่ได้ผลวิธีหนึ่งในการหาพื้นที่ใต้กราฟ และพื้นที่ผิว และปริมาตรของแข็งเช่นทรงกลมและทรงกระบอก

พื้นฐานของแคลคูลัส[แก้]

พื้นฐานที่เคร่งครัดของแคลคูลัส มีฐานมาจาก แนวคิดของฟังก์ชัน และลิมิต มันรวมเทคนิคของพีชคณิตพื้นฐาน และการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ การศึกษาพื้นฐานของแคลคูลัสสมัยใหม่ รู้จักกันในชื่อ การวิเคราะห์เชิงจริง ซึ่งประกอบด้วย นิยามที่เคร่งครัด และบทพิสูจน์ของทฤษฎีของแคลคูลัส เช่นทฤษฎีการวัด และการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส เบื้องต้น[แก้]

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่า การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นวิธีการที่ตรงกันข้ามกัน กล่าวคือ ถ้าเราสร้างฟังก์ชันที่เป็นปริพันธ์ของฟังก์ชันหนึ่งขี้นมา อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เราสร้าง ก็จะเท่ากับฟังก์ชันนั้น นอกจากนี้ เรายังหาปริพันธ์จำกัดเขตได้ด้วยการกำหนดค่าให้กับปฏิยานุพันธ์

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสเขียนในรูปสัญลักษณ์คณิตศาสตร์ได้ดังนี้: ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f บนช่วง [a, b] แล้ว

\int_{a}^{b} f (x) \,dx = F (b) - F (a)

และสำหรับทุก x ในช่วง [a, b] จะได้ว่า

\frac{d}{dx}\int_a^x f (t) \, dt = f (x)

ความจริงข้อนี้ปรากฏแก่ทั้งนิวตัน และไลบ์นิซ ซึ่งเป็นกุญแจนำไปสู่ การขยายผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์อย่างมากมายหลังจากงานของทั้งสองเป็นที่รู้จัก. ความเชื่อมโยงนี้ ทำให้เราสามารถย้อนความเปลี่ยนแปลงทั้งหมดในฟังก์ชันในช่วงหนึ่ง จากอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง โดยการหาปริพันธ์ของส่วนหลัง. ทฤษฎีบทมูลฐานนี้ยังให้วิธีในการคำนวณหา ปริพันธ์จำกัดเขต ด้วยวิธีทางพีชคณิตเป็นจำนวนมาก โดยไม่ต้องใช้วิธีการหาลิมิต ด้วยการหาปฏิยานุพันธ์. ทฤษฎีบทนี้ยังอนุญาตให้เราแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งคือสมการที่เกี่ยวข้องกันระหว่าง ฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า และอนุพันธ์ของมัน. สมการเชิงอนุพันธ์นั้นมีอยู่ทั่วไปในวิทยาศาสตร์

การประยุกต์นำมาใช้[แก้]

การพัฒนาและการใช้แคลคูลัสได้ขยายผลไปแทบทุกส่วนของการใช้ชีวิตในยุคใหม่ มันเป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์เกือบทุกสาขาโดยเฉพาะ ฟิสิกส์ การพัฒนาสมัยใหม่เกือบทั้งหมด เช่น เทคนิคการก่อสร้าง การบิน และเทคโนโลยีอื่น ๆ เกือบทั้งหมด มีพื้นฐานมาจากแคลคูลัส

แคลคูลัสได้ขยายไปสู่ สมการเชิงอนุพันธ์ แคลคูลัสเวกเตอร์ แคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลง การวิเคราะห์เชิงซ้อน แคลคูลัสเชิงเวลา แคลคูลัสกณิกนันต์ และ ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์

อนุกรม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรม คือผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับ ไม่จำกัดเข้าด้วยกัน หากกำหนดให้ลำดับของจำนวนเป็น

\{a_n\} = a_1, a_2, a_3, ...

อนุกรมของลำดับนี้ก็คือ

a_1 + a_2 + a_3 + ...

อนุกรมสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ของผลรวม ∑ เช่นตัวอย่างนี้เป็นอนุกรมของลำดับ

\{1/2^n\}

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots+ \frac{1}{2^n}+\cdots

พจน์ของอนุกรมมักถูกสร้างขึ้นโดยกฎเกณฑ์เฉพาะ เช่นโดยสูตรคณิตศาสตร์ ขั้นตอนวิธี ลำดับของการวัด หรือแม้แต่การสุ่มจำนวน และเนื่องจากพจน์ในอนุกรมมีจำนวนไม่จำกัด อนุกรมจึงอาจเรียกว่าเป็น อนุกรมไม่จำกัด หรือ อนุกรมอนันต์ อนุกรมจำเป็นต้องมีเครื่องมือจากคณิตวิเคราะห์เพื่อที่จะทำความเข้าใจและเพื่อให้สามารถจัดการปรับแต่งได้ ไม่เหมือนกับผลรวมที่มีพจน์จำกัด นอกเหนือจากการใช้งานทั่วไปในคณิตศาสตร์ อนุกรมไม่จำกัดยังถูกใช้งานอย่างกว้างขวางในสาขาวิชาเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่นฟิสิกส์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์

สมบัติพื้นฐาน[แก้]

อนุกรมสามารถสร้างขึ้นได้จากเซตหลายประเภทรวมทั้งจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน ฯลฯ นิยามต่อไปนี้จะถูกกำหนดบนจำนวนจริง แต่ก็สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปได้

กำหนดให้ลำดับไม่จำกัดของจำนวนจริง

\{a_n\}

เรานิยามให้

S_N =\sum_{n=0}^N a_n=a_0+a_1+a_2+\cdots+a_N

เราเรียก

S_N

ว่าเป็น ผลรวมบางส่วน N พจน์ ของลำดับ

\{a_n\}

หรือ ผลรวมบางส่วนของอนุกรม อนุกรมคือลำดับของผลรวมบางส่วนเข้าด้วยกัน

\{S_N\}

ความสับสนที่อาจเกิดขึ้น[แก้]

เมื่อพูดถึงอนุกรม เราอาจหมายถึงลำดับ

\{S_N\}

ของผลรวมบางส่วน หรือหมายถึง ผลรวมของอนุกรม อย่างใดอย่างหนึ่ง ขึ้นอยู่กับบริบท

\sum_{n=0}^\infty a_n

เพื่อที่จะแยกแยะความแตกต่างของทั้งสองความหมายนี้ จึงมีการซ่อนขอบเขตบนและล่างเครื่องหมายผลรวม เช่น

\sum a_n

หมายถึงผลรวมของอนุกรม ซึ่งอาจจะมีหรือไม่มีผลรวมจริงๆ ก็ได้

อนุกรมลู่เข้าและลู่ออก[แก้]

อนุกรม ∑

a_n

จะเรียกว่า ลู่เข้า (converge) เมื่อลำดับ

\{S_N\}

ของผลรวมบางส่วนมีลิมิตที่ไม่เป็นอนันต์ แต่ถ้าลิมิตของ

S_N

เป็นอนันต์หรือไม่มีลิมิต อนุกรมนั้นจะเรียกว่า ลู่ออก(diverge) และเมื่อผลรวมบางส่วนมีลิมิต เราเรียกลิมิตนั้นว่าเป็น ผลรวมของอนุกรม

\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N a_n

วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะทำให้อนุกรมไม่จำกัดเป็นอนุกรมลู่เข้า นั่นคือ

a_n

ทุกพจน์มีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งสังเกตได้จากผลรวมบางส่วนของอนุกรม ส่วนการลู่เข้าของอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ไม่เป็นศูนย์ เป็นสาระสำคัญของการศึกษาอนุกรม ลองพิจารณาตัวอย่างนี้

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n} + \cdots

อนุกรมนี้อาจ มองว่า เป็นอนุกรมลู่เข้าบนเส้นจำนวนจริง เราอาจจินตนาการถึงเส้นตรงยาว 2 หน่วย และมีขีดกำกับแบ่งครึ่งไว้ที่ความยาว 1 หน่วย, ½ หน่วย, ¼ หน่วย ฯลฯ ซึ่งเราจะมีที่ว่างเสมอสำหรับขีดกำกับครั้งถัดไป เพราะว่าความยาวของเส้นที่เหลือจะยังคงมีอยู่เหมือนกับขีดกำกับก่อนหน้า เช่น เมื่อกำกับขีดไว้ที่ ½ หน่วย ก็ยังคงเหลือที่ว่างอีก ½ หน่วยที่ยังไม่มีขีด ดังนั้นเราจึงสามารถขีดกำกับที่ ¼ หน่วยลงไปได้อีก เช่นนี้เรื่อยไป คำอธิบายข้างต้นมิได้เป็นข้อพิสูจน์ว่าผลรวมดังกล่าว เท่ากับ 2 (ถึงแม้ว่าจะเป็นเช่นนั้น) แต่เป็นการพิสูจน์ว่าผลรวมนั้นมีค่ามากที่สุด คือ 2 หรือกล่าวอีกทางหนึ่งคือ อนุกรมนี้มีขอบเขตบนที่ 2

นักคณิตศาสตร์ได้นำวิธีเดียวกันนี้ไปใช้อธิบายสิ่งอื่นๆ เป็นแนวความคิดแบบอนุกรม เช่นเมื่อเราพูดถึงทศนิยมซ้ำจำนวนนี้

x = 0.111\dots

เหมือนว่าเรากำลังพูดถึงอนุกรม

0.1 + 0.01 + 0.001 + ...

แต่เมื่ออนุกรมเหล่านี้ลู่เข้าบนจำนวนจริงเสมอ การอธิบายอนุกรมก็เหมือนกับการอธิบายค่าที่แท้จริงของจำนวนนั้น (ดูเพิ่มที่ 0.999...)

ตัวอย่างอนุกรม[แก้]

อนุกรมเรขาคณิต เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง นั่นคือมาจากลำดับเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น

1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {1 \over 2^n}

และโดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิต

\sum_{n=0}^\infty z^n

จะเป็นอนุกรมลู่เข้าก็ต่อเมื่อ

|z| < 1

อนุกรมฮาร์มอนิก คืออนุกรมดังนี้

1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}

อนุกรมฮาร์มอนิกเป็นอนุกรมลู่ออก

อนุกรมสลับเครื่องหมาย เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ มีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน ตัวอย่างเช่น

1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}

สำหรับอนุกรมนี้

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^r}

จะเป็นอนุกรมลู่เข้าเมื่อ r > 1 และเป็นอนุกรมลู่ออกเมื่อ r ≤ 1 ในฐานะฟังก์ชันของ r ผลรวมของอนุกรมนี้คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

สำหรับอนุกรมเทเลสโคปนี้

\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})

จะเป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้าลำดับ

b_n

ลู่เข้าไปยังขอบเขต L ค่าหนึ่ง เมื่อ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์ และค่าของอนุกรมนี้จะเท่ากับ

b_1 - L

สมบัติอื่นๆ[แก้]

อนุกรมมิได้ถูกแบ่งเพียงว่าจะลู่เข้าหรือลู่ออก อนุกรมยังสามารถแบ่งออกไปได้อีกโดยขึ้นอยู่กับสมบัติของพจน์

a_n

(ลู่เข้าสัมบูรณ์หรือลู่เข้าตามเงื่อนไข) ประเภทของการลู่เข้าของอนุกรม (ลู่เข้ารายจุดหรือลู่เข้าสม่ำเสมอ) ประเภทของพจน์

a_n

(ไม่ว่าจะเป็นจำนวนจริง ลำดับเรขาคณิต ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) และอื่นๆ อีกมากมาย

พจน์ที่ไม่เป็นลบ[แก้]

เมื่อ

a_n

เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบสำหรับทุกค่าของ n ดังนั้นลำดับ

S_N

ของผลรวมบางส่วนจึงมีค่าที่ไม่ลดลง อนุกรม ∑

a_n

ซึ่งพจน์ไม่เป็นลบจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับ

S_N

ของผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขต

ตัวอย่างเช่น กำหนดให้

\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2}

เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากอสมการ

\frac1 {n^2} \le \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}, \quad n \ge 2

และผลรวมเทเลสโคปทำให้สามารถสรุปได้ว่า ผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขตไว้ที่ 2

การลู่เข้าสัมบูรณ์[แก้]

ดูบทความหลักที่: การลู่เข้าสัมบูรณ์

กำหนดให้อนุกรมหนึ่ง

\sum_{n=0}^\infty a_n

จะเรียกว่าลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้าหากอนุกรมของค่าสัมบูรณ์

\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|

ลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งด้วย ซึ่งเป็นค่าเดียวกันกับอนุกรมแรก

การลู่เข้าตามเงื่อนไข[แก้]

ดูบทความหลักที่: การลู่เข้าตามเงื่อนไข

อนุกรมของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนจะเรียกว่าลู่เข้าตามเงื่อนไข (หรือกึ่งลู่เข้า) ถ้าอนุกรมนั้นลู่เข้า แต่ไม่ได้ลู่เข้าสัมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคืออนุกรมสลับเครื่องหมาย เช่น

\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \over n} = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots

เป็นอนุกรมลู่เข้า (และมีผลรวมเท่ากับ ln 2) แต่อนุกรมของค่าสัมบูรณ์กลายเป็นอนุกรมฮาร์มอนิกซึ่งลู่ออก ทฤษฎีบทอนุกรมของรีมันน์กล่าวไว้ว่า อนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข สามารถจัดเรียงให้กลายเป็นอนุกรมลู่ออก และยิ่งไปกว่านั้น ถ้า